Question

20．（1）已知函數(shù)f（x）=e^x+m-lnx，若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈[-2，0]，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的極值，求出m的值，得到f（x）的表達(dá)式，從而求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值和最大值得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$，若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
則f′（1）=e^1+m-1=0，解得：m=-1，
故f（x）=e^x-1-lnx，f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f'（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當(dāng)x＞-1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)遞增；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)遞減，
所以當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極小值即最小值 f（-1）=-$\frac{1}{e}$
函數(shù) g（x）的最大值為a，若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₂）成立．
則有g(shù)（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，
即a≥-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題、屬于中檔題