Question

已知函數(shù)f（x）=（sin2x+cos2x）²+3-2sin²2x．
（1）求f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個(gè)單位長度得到的，當(dāng)x∈[0，

π

4

]時(shí)，求y=g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為

2

sin(4x+

π

4

)+3，由此求得它的最小正周期及對稱中心．
（2）由函數(shù) y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律求出g（x）=

2

sin(4x-

π

4

)+3，根據(jù)x的范圍求出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=（sin2x+cos2x）²+3-2sin²2x，=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)+3，
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期

π

2

．
令 4x+

π

4

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

4

-

π

16

，故函數(shù)的對稱中心為(

kπ

4

-

π

16

，3)(k∈Z)．
（2）依題意得，y=g(x)=

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]=

2

sin(4x-

π

4

)+3．
因?yàn)?span id="c2mdwqh" class="MathJye">0≤x≤

π

4

，所以-

π

4

≤4x-

π

4

≤

3π

4

．
當(dāng)4x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

16

時(shí)，g（x）取最大值為 3+

2

；
當(dāng)4x-

π

4

=-

π

4

，即x=0，g（x）取最小值為 2，
故所求函數(shù)的值域?yàn)?[2，3+

2

]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù) y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的對稱性、周期性，定義域、值域，屬于中檔題．