Question

已知：四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.

(Ⅰ) 求證：BC∥平面PAD；

(Ⅱ) 若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥BC；

(Ⅲ) 求二面角C-PA-D的余弦值.

Answer 1

方法1：

(Ⅰ)解：因為ABCD是正方形，

所以BC∥AD.

因為AD平面PAD，BC平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

(Ⅱ)證明：因為PD⊥底面ABCD，

且ABCD是正方形，

所以PC⊥BC.

設(shè)BC的中點為G，

連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EG∥PC，F(xiàn)G∥DC.

所以BC⊥EG，BC⊥FG.

因為 EG∩FG=G，

所以BC⊥面EFG.

因為EF面EFG，

所以EF⊥BC.

(Ⅲ)設(shè)PA的中點為N，連結(jié)DN，NC，

因為PD=AD，N為中點，

所以DN⊥PA.

又△PAC中容易計算出PC=AC，

N為中點，所以NC⊥PA.

所以∠CND是所求二面角的平面角.

依條件，有CD⊥PD，CD⊥AD，

PD∩AD=D，

所以CD⊥面PAD.

因為DN面PAD，

所以CD⊥DN.

在Rt△CND中，容易計算出DN=，NC=.

于是cos∠CND==，即所求二面角的余弦值是.

方法2：

如圖，以點D為原點O，

有向直線OA、OC、OP分別為x、y、z軸

建立空間直角坐標系.

 (Ⅰ)證明：因為=(1，0，0)，

平面PAD的一個法向量為

r_PAD=(0，1，0)，

由? r_PAD=0，可得⊥r_PAD.

于是BC∥平面PAD.

(Ⅱ)證明：=(0，-，-)，=(1，0，0)，

因為?=0，

所以EF⊥BC. 

(Ⅲ)解：容易求出平面PAD的一個法向量為r_PAD=(0，1，0)，

及平面PAC的一個法向量為r_PAC=(1，1， 1)，

因為r_PAD? r_PAC=1，|r_PAD|=1，|r_PAC|=，

所以cos<r_PAD， r_PAC>==，

即所求二面角的余弦值是.