Question

在如圖所示的直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AC⊥BC,|AA₁|=|BC|=1,|AC|=2,點M是B₁B的中點,Q是AB的中點.

(1)若P是A₁C₁上的一動點,求;

(2)求二面角A-A₁B-C的大小.

Answer 1

(1)解法一:取BC的中點N，連結QN、C₁N.

∵AC⊥BC,AC⊥C₁C,

∴AC⊥平面B₁BCC₁.

又∵Q、N分別是AB、CB的中點,

∴QN∥AC.

∴QN⊥平面B₁BCC₁.

∴平面PQNC₁⊥平面B₁BCC₁.

∴C₁N是PQ在平面B₁BCC₁上的射影.

∵|C₁C|=|BC|,由平面知識知CM⊥C₁N,

∴PQ⊥CM.

∴=0.

解法二:建立如圖空間直角坐標系，則

A(0,0,0),A₁(0,0,1),C(0,,0),B(1,  ,0),C₁(0,,1),M(1,,),Q(,,0).

設P點坐標為(0,x,1),

∴=(,-x,-1), =(1,0, )，

則·=1×+(-1)×=0，

即·=0.

(2)解:作CH⊥AB于H,

∵A₁A⊥平面ABC,

∴CH⊥A₁A.∴CH⊥平面A₁AB.

作HD⊥A₁B于D,連結CD,

由三垂線定理得CD⊥A₁B.

∴∠CDH為二面角A-A₁B-C的平面角.

在Rt△ACB中，CH==.

又∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥BC.

又BC⊥AC,∴BC⊥平面A₁AC.∴BC⊥A₁C.

易求得A₁B=2,A₁C=,

∴在Rt△A₁CB中，CD=.

又在Rt△CHD中，sin∠CDH=,

故二面角A-A₁B-C的大小為arcsin.