Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，x²-a₁x-a₁=0有一根為S₁-1=a₁-1，
于是（a₁-1）²-a₁（a₁-1）-a₁=0，解得a₁=

1

2

．
當(dāng)n=2時(shí)，x²-a₂x-a₂=0有一根為S₂-1=a₂-

1

2

，
于是（a₂-

1

2

）²-a₂（a₂-

1

2

）-a₂=0，解得a₂=

1

6

．
（Ⅱ）由題設(shè)（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0，
即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，代入上式得
S_n-1S_n-2S_n+1=0　　�、�
由（Ⅰ）知S₁=a₁=

1

2

，S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

6

=

2

3

．
由①可得S₃=

3

4

．
由此猜想S_n=

n

n+1

，n=1，2，3，…．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．
（i）n=1時(shí)已知結(jié)論成立．
（ii）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即S_k=

k

k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，由①得S_k+1=

1

2-Sn-1

，即S_k+1=

k+1

k+2

，
故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由（i）、（ii）可知S_n=

n

n+1

對(duì)所有正整數(shù)n都成立．
于是當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n

n+1

-

n-1

n

=

1

n(n+1)

，
又n=1時(shí)，a₁=

1

2

=

1

1×2

，所以{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

n

n+1

，n=1，2，3，…．