Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，D、E分別為AB、AC上的點，AB⊥DE，沿DE將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC，設(shè)AD=x．
（1）若側(cè)視圖方向為

.

DB

，求側(cè)視圖面積．
（2）試將四棱錐A-BCED的體積u（x）用x表示出來．
（3）當x為何值時，u（x）取最大值．

Answer 1

分析：（1）側(cè)視圖方向為

.

DB

，求出BC在DE上的射影的長度，即可求出側(cè)視圖面積．
（2）將四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為：S_A-BCED=S_△ABC-S_△ADE，即可u（x）用x表示出來．
（3）利用函數(shù)的導數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性，求出u（x）取最大值．

解答：解：（1）BC在DE上的射影的長度CF=

3

，幾何體的左視圖為三角形，高為AD=x，所以左視圖的面積為：S_側(cè)=

3 x

2

．
（2）∵△ADE∽△ABC，
⇒

x

2 3

=

DE

2

⇒DE=

3

3

x，∴S_A-BCED=S_△ABC-S_△ADE=2

3

-

3

6

x2，
u（x）=

1

3

SDECB•AD=

3

18

(12x-x3)，0＜x＜3．
（3）由（1）得u′（x）=

3 3

18

(4-x2)，0＜x＜3，
∵?x∈（0，2），u′（x）＞0，u′（2）=0，?x∈（2，3），u′（x）＜0，
∴u_max（x）=u（2）=

8 3

9

．

點評：本題考查幾何體的直觀圖與三視圖的關(guān)系，幾何體的體積的求法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力與轉(zhuǎn)化思想．