Question

已知：在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．
求證：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．

Answer 1

分析：證法一：如圖，在△ABC中，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，利用ABsinA=BCsinC即可證得

a

sinA

=

c

sinC

，同理可證

a

sinA

=

b

sinB

．
證法二：作圖同上，利用sin∠ABC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，將sinA、cosC、cosA、sinC分別用線段之比代換整理即可得sin∠ABC=

bsinA

a

，同理可證

a

sinA

=

c

sinC

．

解答：證法一：如圖，在△ABC中，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，
∵BD=BD，
∴ABsinA=BCsinC，…（2分）
即csinA=asinC⇒

a

sinA

=

c

sinC

，…（4分）
同理可證

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．…（5分）
證法二：
如圖，在△ABC中，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D
sin∠ABC=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）
=sinAcosC+cosAsinC…（2分）
=

BD

AB

•

CD

BC

+

AD

AB

•

BD

BC

=

ABsinA•AC

AB•BC

=

sinA•AC

BC

=

bsinA

a

，…（4分）
∴asinB=bsinA，
∴

a

sinA

=

b

sinB

，
同理可證

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．…（5分）

點(diǎn)評：本題考查正弦定理的證明，考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)式的綜合應(yīng)用，考查推理證明能力，屬于中檔題．