Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．
（1）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)C_n=（n∈N^*），求證C_n+1＜C_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）①利用，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n；②利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n；
（2）由即可得到c_n+1＜c_n；利用二項(xiàng)式定理可得3ⁿ=（1+2）ⁿ≥3n，即可證明．
解答：解：（1）①當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n．
由a₁=1，∴a₂=2a₁+1=3=3a₁．
∵a₁=1≠0，∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴．
②等差數(shù)列{b_n}滿足b₃=3，b₅=9．設(shè)公差為d，則，解得．
∴b_n=-3+（n-1）×3=3n-6．
（2）由（1）可得=．
∴=c_n．
∵3ⁿ=（1+2）ⁿ=…+2ⁿ≥3n，
∴．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)公式a_n與其前n項(xiàng)和S_n之間的關(guān)系、等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的基本性質(zhì)、二項(xiàng)式定理是解題的關(guān)鍵．