Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線x-

3

y+

3

=0經過橢圓C的上頂點B和左焦點F，設橢圓右焦點為F′．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設P是橢圓C上動點，求|4-（|PF′|+|PB|）|的取值范圍，并求取最小值時點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由已知直線方程求得橢圓左焦點及上頂點的坐標，則b，c的值可求，結合a²=b²+c²求得a²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）利用橢圓定義，把|4-（|PF′|+|PB|）|轉化為||PF|-|PB||，得到||PF|-|PB||的取值范圍，然后求出||PF|-|PB||取最小值時的P的軌跡，和橢圓方程聯立求得P的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由x-

3

y+

3

=0，得直線在x軸、y軸上的截距分別為-

3

，1．
∴B（0，1），F（-

3

，0），
則b=1，c=

3

，a=

b2+c2

=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；                                       
（Ⅱ）由橢圓定義知|PF|=4-|PF′|，則|4-（|PF′|+|PB|）|=||PF|-|PB||，
而0≤||PF|-|PB||≤|BF|，
當且僅當|PF|=|PB|時，||PF|-|PB||=0，
當且僅當P是直線BF與橢圓C的交點時，||PF|-|PB||=|BF|=2，
∴|4-（|PF'|+|PB|）|的取值范圍是[0，2]．                    
設P（m，n），由|PF|=|PB|，得

3

m+n+1=0，
由

m2 4 +n2=1 3 m+n+1=0

，
解得

m=0 n=-1

或

m=- 8 3 13 n= 11 13

，
∴使|4-（|PF′|+|PB|）|取得最小值時的P的坐標為（0，-1）和(-

8 3

13

，

11

13

)．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了橢圓方程的求法，考查了橢圓的定義，訓練了數學轉化思想方法，屬中高檔題．