Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為CC₁的中點(diǎn)，P為平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A₁P和MP與平面ABCD所成的角相等，則P的軌跡為________．

Answer 1

圓
分析：連接PA，PC，根據(jù)A₁P和MP與平面ABCD所成的角相等，可得∠A₁PA=∠MPC，從而可得PA=2PC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，求出P的方程，即可得到結(jié)論．
解答：解：連接PA，PC，則∠A₁PA，∠MPC分別為A₁P和MP與平面ABCD所成的角相等
∵A₁P和MP與平面ABCD所成的角相等，
∴∠A₁PA=∠MPC
∴tan∠A₁PA=tan∠MPC
∴
∵M(jìn)為CC₁的中點(diǎn)，
∴PA=2PC
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則C（1，1）
設(shè)P（x，y），則x²+y²=4[（x-1）²+（y-1）²]
即（x-）²+（y-）²=
∴P的軌跡為圓
故答案為：圓．
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何中的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是確定曲線的方程，屬于中檔題．