Question

12．以下四個(gè)判斷中，正確的是①②③（多選、少選、選錯(cuò)均不得分）．
①集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的個(gè)數(shù)為15；
②已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=4，那么$\overrightarrow$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
③在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，則△ABC是鈍角三角形；
④設(shè)無窮數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若{S_n}是等差數(shù)列，則{a_n}一定是常數(shù)列．

Answer 1

分析 ①根據(jù)含有N個(gè)元素的集合的真子集的個(gè)數(shù)是2^N-1，來判斷．
②由向量數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算即可．
③由正弦定理可得 a²+b²＜c²，則再由余弦定理可得cosC＜0，故C為鈍角，從而得出結(jié)論．
④利用數(shù)列的項(xiàng)與和的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)．來判斷④是否正確．

解答 解：對于①，集合{a₁，a₂，a₃，a₄}的真子集的個(gè)數(shù)為2⁴-1=15，所以①正確；
對于②，由題意知$\overrightarrow$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=2×4×4cos120°+4²=0．∴$\overrightarrow⊥（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；②正確；
對于③，在△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理可得 a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，故C為鈍角，故△ABC是鈍角三角形，所以③正確；
對于④，∵{S_n}是等差數(shù)列，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=d，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，
∵d、S₁不一定相等，∴{a_n}不一定是常數(shù)列．故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題借助考查命題的真假判斷，考查向量的夾角問題．考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，數(shù)列以及真子集的應(yīng)用，屬于中檔題．