Question

已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn).

(1)證明：PF⊥FD；

(2)判斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值.

Answer 1

方法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，

AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1，1,0)，D(0,2,0).

不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，

∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，

即PF⊥FD.

(2)存在.設(shè)平面PFD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，結(jié)合(1)，

由，得，

令z＝1，解得：x＝y(tǒng)＝.∴n＝(，，1).

設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0，m)，E(，0,0)，則＝(－，0，m)，

要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，即(－)×＋0×＋m×1＝m－＝0，

得m＝t，從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G即為所求.

(3)∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得＝(1,0,0)，

又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，

得∠PBA＝45°，PA＝1，結(jié)合(2)得平面PFD的法向量為n＝(，，1)，

∴cos〈，n〉＝＝＝，

由題意知二面角A－PD－F為銳二面角.

故所求二面角A－PD－F的平面角的余弦值為.

方法二：(1)連接AF，則AF＝，DF＝，

又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF，

又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，

∴DF⊥平面PAF，又∵PF⊂平面PAF，∴DF⊥PF.

(2)過點(diǎn)E作EH∥DF交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH＝AD，

再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，

∴平面EHG∥平面PFD，∴EG∥平面PFD.

從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G即為所求.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA＝45°，∴PA＝AB＝1，

取AD的中點(diǎn)M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，

在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，

則∠MNF即為二面角A—PD—F的平面角，

∵Rt△MND∽R(shí)t△PAD，∴＝，

∵PA＝1，MD＝1，PD＝，∴MN＝，

又∵∠FMN＝90°，∴FN＝＝，

∴cos∠MNF＝＝.