Question

雙曲線E經(jīng)過點A（4，6），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F₁，F(xiàn)₂在X軸上，離心率e=2．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意先設(shè)雙曲線方程，利用雙曲線E經(jīng)過點A（4，6），離心率e=2，可求雙曲線E的方程；
（2）利用角平分線的性質(zhì)可求∠F₁AF₂的角平分線交x軸點M的坐標(biāo)，從而可求直線方程．

解答：解：依題意，可設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），c²=a²+b²（c＞0）
（1）由A在曲線上得

16 a2 - 36 b2 =1 a2+b2 a2 =4

，∴

a2=4 b2=12

∴E的方程為

x2

4

-

y2

12

=1
（2）由（1）知，c=4，設(shè)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
∵A（4，6），∴AF₂⊥x軸
設(shè)∠F₁AF₂的角平分線交x軸于點M（m，0）
由角平分線的性質(zhì)可知

|F1M|

|MF2|

=

|AF1|

|AF2|

即

m+4

4-m

=

10

6

，∴m=1
∴M（1，0）
故所求直線方程為y=

6-0

4-1

(x-1)，即y=2x-2

點評：本題的考點是雙曲線的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，考查直線方程的求解，關(guān)鍵是理解角平分線的性質(zhì)．