將數(shù)列{an}中的所有項按每組比前一組項數(shù)多一項的規(guī)則分組如下:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6),(a7,a8,a9,a10),…每一組的第1個數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足Sn+1(Sn+2)=Sn(2-Sn+1),n∈N*,
(I)求證:數(shù)列{
1
Sn
}成等差數(shù)列,并求出數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若從第2組起,每一組中的數(shù)自左向右均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為同一個正數(shù),當a18=-
2
15
時,求公比q的值;   
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,記每組中最后一數(shù)a1,a3,a6,a10,…構(gòu)成的數(shù)列為{cn},設(shè)dn=n2(n-1)•cn,求數(shù)列{dn}的前n項和Tn
分析:(I)證明:由sn+1(sn+2)=sn(2-sn+1),整理可得,
1
sn+1
-
1
sn
=1
可求sn,進而可求an
(II)由1+2+…+5=15,可得第1行至第5行共含有數(shù)列{an}的前15項,從而可求q
(III)由題意可得,每組中的數(shù)據(jù)依次構(gòu)成以bn為首項,2為公比的等比數(shù)列,從而可求cn,進而可求dn,在利用錯位相減法求解數(shù)列的和
解答:解:(I)證明:由sn+1(sn+2)=sn(2-sn+1
得sn-sn+1=snsn+1
所以
1
sn+1
-
1
sn
=1

又s1=b1=a1=1
所以數(shù)列{
1
sn
}
是首項為1,公差為1的等差數(shù)列
所以
1
sn
=n
,即sn=
1
n

所以bn=
1,n=1
-1
n(n-1)
,n≥2

(II)解:因為1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有數(shù)列{an}的15項
故a18在表中第6行第三列.(12分)
所以,a18=-
2
15
=b6q2,(13分)
所以q=2.(14分
(III)因為從第2組起,每組中的數(shù)據(jù)依次構(gòu)成以bn為首項,2為公比的等比數(shù)列
所以cn=-
1
n(n-1)
2n-1
(n≥2,n∈N*
Cn=
1,n=1
-
1
n(n-1)
2n-1,n≥2

于是n≥2當時那么相減得,Tn=0+(-2)×2+(-3)×22+…+(-n)•2n-1
-Tn=0+2×2+3×22+…+n•2n-1
-2Tn=2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
相減可得,Tn=2×2+22+23+…+2n-1-n•2n-1=(1-n)•2n
點評:本題主要考查了利用構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項公式及錯位相減求數(shù)列的和,解題的關(guān)鍵在于由條件進行構(gòu)造及錯位相減的方法的靈活應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足
2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)

(1)求證數(shù)列{
1
Sn
}
成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)上表中,若a81項所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當a81=-
4
91
時,公比q的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:
精英家教網(wǎng)

依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令cn=2+ban+b•2an-1(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表.記表中第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足2bn=bnSn-Sn2(n≥2,n∈N*).
(1)證明數(shù)列{
1
Sn
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)圖中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當a81=-
4
91
時,求上表中第k(k≥3)行所有數(shù)的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下表:
記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…,構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且滿足數(shù)學(xué)公式
(1)求證數(shù)列數(shù)學(xué)公式成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)上表中,若a81項所在行的數(shù)按從左到右的順序構(gòu)成等比數(shù)列,且公比q為正數(shù),求當數(shù)學(xué)公式時,公比q的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省淮安市洪澤中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)(解析版) 題型:解答題

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且2an-1<an-1+an+1<2an+1(n∈N,n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)將數(shù)列{an}中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表:


依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn},求b5+b100的值;
(3)令(b為大于等于3的正整數(shù)),問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列?若存在,求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案