Question

自選題：不等式選講：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求證：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求證：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．

Answer 1

【答案】分析：（I）對(duì)已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．進(jìn)行去掉絕對(duì)值后再利用不等式的性質(zhì)即可得到x₁+x₂的范圍，由于|x₁-x₂|≤|x₁-2|+|x₂-2|再對(duì)右邊利用題中條件即可證得．
（II）利用）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-x₂²-x₁+x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，對(duì)最后一個(gè)式子利用（I）中的結(jié)論進(jìn)行放縮即可證明得．
解答：證明：（I）∵|x₁-2|＜1，∴-1＜x₁-2＜1，即1＜x₁＜3，（2分）
同理1＜x₂＜3，∴2＜x₁+x₂＜6，（4分）
∵|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|，
∴|x₁-x₂|＜2；（5分）
（II）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁²-x₂²-x₁+x₂|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|，（8分）
∵2＜x₁+x₂＜6，∴1＜x₁+x₂-1＜5，
∴|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了不等式的證明、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．