在計(jì)算“”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：

由此得

……

相加，得

（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“”的結(jié)果；

 (2) 試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式.

 

【答案】

見解析

【解析】本試題主要是考查了類比推理的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知的條件和結(jié)論，分析觀察可知道所求的表達(dá)式的結(jié)論。

（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，注意兩步驟的運(yùn)用尤其是假設(shè)一定要用上，否則證明的結(jié)論就是錯(cuò)誤的。

(1) 先改寫第k項(xiàng)：

由此得

…

相加，得

(2)證：當(dāng)時(shí),左邊=，右邊 

當(dāng)時(shí)等式成立

假設(shè)當(dāng)時(shí), 成立，那么, 當(dāng)時(shí),

  

即當(dāng)時(shí), 等式也成立  由(1),(2)可知，對(duì)一切自然數(shù)

成立

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=數(shù)學(xué)公式[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=數(shù)學(xué)公式（1×2×3-0×1×2），2×3=數(shù)學(xué)公式（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=數(shù)學(xué)公式[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=數(shù)學(xué)公式
（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=
1
3
[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=
1
3
（1×2×3-0×1×2），2×3=
1
3
（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=
1
3
[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
1
3
n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2002-2013學(xué)年江蘇省泰州二中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在計(jì)算“1×2+2×3+…n（n+1）”時(shí)，先改寫第k項(xiàng)：
k（k+1）=[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=（1×2×3-0×1×2），2×3=（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=
（1）類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結(jié)果；
（2）試用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的等式．

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