Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）＜10對x∈（-1，3）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；當a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（2）a=1時，f（x）=x²+|x-1|=，再進行配方，利用函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）f（x）=x²+|x-a|＜10對x∈（-1，3）恒成立，等價于x²-10＜x-a＜10-x²，分離參數(shù)可得對x∈（-1，3）恒成立，從而可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=0時，f（x）為偶函數(shù)；當a≠0時，f（x）為非奇非偶函數(shù)
（2）a=1時，f（x）=x²+|x-1|==
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，），函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（，+∞）
（3）f（x）=x²+|x-a|＜10對x∈（-1，3）恒成立，等價于x²-10＜x-a＜10-x²，
等價于對x∈（-1，3）恒成立
∴2≤a≤4
點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，考查恒成立問題，綜合性較強．