精英家教網(wǎng)如圖,過原點且傾斜角為α的直線交單位圓于點A(
3
5
,
4
5
),C是單位圓與x軸正半軸的交點,B是單位圓上第二象限的點,且△AOB為正三角形.
(I)求sin2
α
2
的值;
(II)求△BOC的面積.
分析:(I)由三角函數(shù)的定義可知 sinα=
4
5
,cosα=
3
5
,可得  sin2
α
2
=
1-cosα
2
=
1
5

(II)又△AOB為正三角形,∠AOB=
π
3
,求得 sin∠BOC=sin(α+
π
3
 )=sinαcos
π
3
+cosαsin
π
3
 的值,
由△BOC的面積等于
1
2
 OB×OC sin∠BOC 求出結果.
解答:解:(I)由三角函數(shù)的定義可知 sinα=
4
5
,cosα=
3
5
,∴sin2
α
2
=
1-cosα
2
=
1
5

(II)又△AOB為正三角形,∠AOB=
π
3
,
∴sin∠BOC=sin(α+
π
3
 )=sinαcos
π
3
+cosαsin
π
3
=
4
5
×
1
2
+
3
5
×
3
2
=
4+3
3
10

△BOC的面積等于
1
2
 OB×OC sin∠BOC=
1
2
×1×1×
4+3
3
10
=
4+3
3
20
點評:本題考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和的正弦公式的應用,求出 sinα=
4
5
,cosα=
3
5
,是解題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•揭陽二模)如圖已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為l,焦點為F,圓M的圓心在x軸的正半軸上,且與y軸相切.過原點作傾斜角為
π
3
的直線t,交l于點A,交圓M于點B,且|AO|=|OB|=2.
(1)求圓M和拋物線C的方程;
(2)設G,H是拋物線C上異于原點O的兩個不同點,且
OG
OH
=0
,求△GOH面積的最小值;
(3)在拋物線C上是否存在兩點P,Q關于直線m:y=k(x-1)(k≠0)對稱?若存在,求出直線m的方程,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•揭陽二模)如圖已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為l,焦點為F,圓M的圓心在x軸的正半軸上,且與y軸相切.過原點作傾斜角為
π3
的直線t,交l于點A,交圓M于點B,且|AO|=|OB|=2.
(1)求圓M和拋物線C的方程;
(2)試探究拋物線C上是否存在兩點P,Q關于直線m:y=k(x-1)(k≠0)對稱?若存在,求出直線m的方程,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,過原點且傾斜角為α的直線交單位圓于點A(數(shù)學公式),C是單位圓與x軸正半軸的交點,B是單位圓上第二象限的點,且△AOB為正三角形.
(I)求sin2數(shù)學公式的值;
(II)求△BOC的面積.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年浙江省紹興市魯迅中學高三適應性考試數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,過原點且傾斜角為α的直線交單位圓于點A(),C是單位圓與x軸正半軸的交點,B是單位圓上第二象限的點,且△AOB為正三角形.
(I)求sin2的值;
(II)求△BOC的面積.

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