Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F為CD的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；

   （Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角余弦值；

   （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD

∴DE⊥AF。

又∵AC=AD=C，F(xiàn)為CD中點(diǎn)

∴AF⊥CD，

∴AF⊥面CDE

∴AF⊥平面CDE  。

   （Ⅱ）∵

取DE中點(diǎn)M，連結(jié)AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形

AM//BE，則∠CAM為AC與BE所成的角。在△ACM中，AC=2a

由余弦定理得：

∴異面直線AC、AE所成的角的余弦值為。

   （Ⅲ）延長(zhǎng)DA。EB交于點(diǎn)G，連結(jié)CG。

  因?yàn)锳B//DE，AB=DE，所以A為GD中點(diǎn)。又因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以CG//AF。

因?yàn)锳F⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。

故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。