【題目】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：

（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

【答案】(1)見詳解；(2) 3或.

【解析】

可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點(diǎn)式求出直線方程，最后根據(jù)直線方程求出它所過的定點(diǎn).(2)應(yīng)用四邊形面積公式，代入化簡出關(guān)于和的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和，但會稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易）

(1)證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，因?yàn)?/span>，所以，

則切線DA為：---------①，切線DB為：--------②，

代入得，得，因?yàn)?/span>故消去得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>DA和DB的交點(diǎn)D為直線上的動點(diǎn)，所以有，，

直線AB為，點(diǎn)A，B在曲線上，則有，整理得，即.當(dāng)，時無論,取何值時，此等式均成立。因此直線AB過定點(diǎn)，得證。

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為G，由題得G點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得.

因，故.所以或.

由第一問中，為這里的為D點(diǎn)坐標(biāo),然而,故

，所以，又因?yàn)?/span>.所以。即D坐標(biāo)為.

那么,.

設(shè)為與的夾角，那么有

代入進(jìn)行化簡有

若，則.

若，則,

代入有.

所以四邊形ADBE的面積為3或.

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（1）結(jié)合圖，寫出集合；

（2）根據(jù)以上信息，求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費(fèi)用大于元的概率（以臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率）；

（3）若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受折優(yōu)惠（使用過程中如需再購買無優(yōu)惠）.假設(shè)上述臺凈水器在購機(jī)的同時，每臺均購買個一級濾芯、個二級濾芯作為備用濾芯（其中，），計(jì)算這臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為個，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少？

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【題目】在平行四邊形中，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，.連結(jié)交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.

證明：直線平面

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（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于、的動點(diǎn)，直線、與直線分別相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)，試問：外接圓是否恒過軸上的定點(diǎn)（異于點(diǎn)）？若是，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，說明理由.

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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