Question

【文科生做】已知圓E：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）設(shè)P（x，y）是圓E上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點(diǎn)，
又?，
∴直線l恒過定點(diǎn)A（3，1），且（3-1）²+（1-2）²=5＜25?A（3，1）必在圓內(nèi)，
故直線l與圓恒有兩交點(diǎn)．
（2）因?yàn)椋▁-1）²+（y-2）²=25，
令y=2+5sinα，則x=1+5cosα
所以x+y=3+5（sinα+cosα）=5sin（）+3
∵sin（）的最小值為-1，最大值為1，
所以x+y的取值范圍是：[3-5，3+5]．
分析：（1）把直線l的方程變形后，根據(jù)直線l恒過定點(diǎn)，得到關(guān)于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離d，發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；
（2）根據(jù)圓的參數(shù)形式表示出方程（x-1）²+（y-2）²=25，進(jìn)而表述出x+y，再結(jié)合三角函數(shù)的最值可求得x+y的取值范圍．
點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，恒過定點(diǎn)的直線方程以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．第一問的關(guān)鍵是求出直線l恒過的A點(diǎn)坐標(biāo)，判定A在圓內(nèi)；第二問關(guān)鍵是利用的參數(shù)形式進(jìn)行解題．考查對圓的方程的另一種認(rèn)識(shí)和運(yùn)用．圓的參數(shù)形式有時(shí)可以給解題帶來很大方便，一定要理解其形式．