Question

在數(shù)列{a_n}與{b_n}中，a₁=1，b₁=4，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-(n+3)S_n=0，2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項(xiàng)，n∈N*，
（Ⅰ）求a₂，b₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)，n∈N*，證明|T_n|＜2n²，n≥3。

Answer 1

（Ⅰ）解：由題設(shè)有，a₁=1，解得，
由題設(shè)又有，b₁=4，解得；
（Ⅱ）解：由題設(shè)，a₁=1，b₁=4，及，，
進(jìn)一步可得，
猜想，，n∈N*，
先證，n∈N*，
當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立；
當(dāng)n≥2時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=2時(shí)，，等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即，k≥2，
由題設(shè)，，　�、� 　　
，②
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，
從而．
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的n≥2成立．
綜上所述，等式對(duì)任何的n∈N*都成立；
再用數(shù)學(xué)歸納法證明，n∈N*。
（1）當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，那么，
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的n∈N*都成立．
（Ⅲ）證明：，
當(dāng)n=4k，k∈N*時(shí)，，
注意到，
故
，
當(dāng)n=4k-1，k∈N*時(shí)，
；
當(dāng)n=4k-2，k∈N*時(shí)，
；
當(dāng)n=4k-3，k∈N*時(shí)，
；
所以；
從而n≥3時(shí)，有，
總之，當(dāng)n≥3時(shí)，有，即。