Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁＝AC＝BC＝2，D、E、F分別是AB、AA₁、CC₁的中點，P是CD上的點．

(Ⅰ)求證：直線PE∥平面A₁BF；

(Ⅱ)求二面角D―EC―A的大小；

(Ⅲ)求直線PE與平面A₁BF的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：連又， 　　∴ 　　(Ⅱ)(法則一)取AC中點M，連DM，則DM∥BC，又BC⊥AC，∴DM⊥AC， 　　∵平面A1ACC1⊥底面ABC，且平面A1ACC1∩底面ABC＝AC，∴DM⊥平面EAC． 　　作MN⊥EC，連DN，據(jù)三垂線定理，得CE⊥DN，∴∠DNM為所求二面角的平面角． 　　在Rt△EDC中，． 　　在Rt△DMN中，， 　　∴，即所求二面角的平面角 　　的大小為． 　　(法則二)以C為坐標原點，CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示的坐標系，則C(0，0，0)，D(1，1，0)，E(2，0，1)，＝(1，1，0)，， 　　設(shè)平面EDC的法向量為， 　　則由， 　　令x＝1，則y＝－1，z＝－2，故法向量 　　，又平面ECA的一個法向量為 　　，∴， 　　∴二面角D―EC―A的大小為． 　　(Ⅲ)(法一)由(1)可知，直線PE與平面A1BF的距離等于兩平行平面EDC與A1BF的距離，即點A1到平面EDC的距離，亦即A到平面EDC的距離，設(shè)A到平面EDC的距離為h，又CD⊥AB，而A1ABB1⊥平面ABC，且A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴CD⊥平面A1ABB1，∴CD⊥ED，即△CED為直角三角形． 　　由，