Question

1．已知f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式：f（x）-f（1-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=-f（x），列出方程求出a、b的值，代入解析式；
（2）先判斷出函數(shù)是減函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：取值，作差，變形，定號下結(jié)論．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到關(guān)于x的不等式組，解得即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+bx+1}$是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即$\frac{0+a}{0+0+1}$=0，∴a=0．
又∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{-1}{2-b}$=-$\frac{1}{2+b}$，
∴b=0，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（2）函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．
證明如下，
任取-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0．
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）為[-1，1]上的增函數(shù)．
（3）∵f（x）-f（1-x）＜0，
即f（x）＜f（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x＜1-x}\end{array}\right.$
解得0≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴解集為：{x|0≤x＜$\frac{1}{2}$}

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值，作差，變形，定號下結(jié)論．