Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，3S_n+1是6與2S_n的等差中項(xiàng)（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出Sn+1=

1

3

Sn+1，從而得到an+1=

1

3

an對n≥2都成立，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，則等價(jià)于2kt²+t-3＜0恒成立，由此能求出存在符合要求的正整數(shù)k，且其最大值為11．

解答： 解：（1）因?yàn)?S_n+1是6與2S_n的等差中項(xiàng)，
所以6+2S_n+6S_n-1（n∈N^*），即Sn+1=

1

3

Sn+1，（n∈N^*）
當(dāng)n≥2時(shí)有Sn=

1

3

Sn-1+1．
得Sn+1-Sn=

1

3

(Sn-Sn-1)，即an+1=

1

3

an對n≥2都成立，
又S2=

1

3

S1+1，即a1+a2=

1

3

a1+1，所以a2=

1

3

=

1

3

a1，
所以an=

1

3n-1

．（n∈N^*）．
（2）存在正整數(shù)k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，
等價(jià)于k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對任意正整數(shù)k，不等式恒成立；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于2k(

1

3

)2(k-1)+(

1

3

)n-1-3＜0恒成立，
令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，則等價(jià)于2kt²+t-3＜0恒成立，
因?yàn)閗為正整數(shù)，故只須2k(

1

3

)2+

1

3

-3＜0，解得0＜k＜12，k∈N^*，
所以存在符合要求的正整數(shù)k，且其最大值為11．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．