Question

已知某四面體的六條棱長分別為

5

，

3

，

2

，

2

，

2

，

2

，則兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為

15

5

．

Answer 1

分析：當(dāng)較長的兩條棱是四面體相對的棱時，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當(dāng)它們是四面體相鄰的棱時，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案．

解答：解：①當(dāng)較長的兩條棱是四面體相對的棱時，
如圖中的左圖，取CD中點(diǎn)E，則
∵等腰△BCD中，中線BE⊥CD，等腰△ACD中，中線AE⊥CD，
AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線
∴CD⊥平面ABE，結(jié)合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD
此時兩條較長棱所在直線所成角的余弦值為cos90°=0，
檢驗(yàn)：此時△ABE中，AE=BE=

5

2

，不滿足AE+BE＞AB，
故此種情況舍去；
②當(dāng)較長的兩條棱是四面體相鄰的棱時，如圖中的右圖
設(shè)所成的角為θ，根據(jù)余弦定理得cosθ=

5+3-2

2× 5 × 3

=

15

5

綜上所述，得所求余弦值為0或

15

5

故答案為：

15

5

點(diǎn)評：本題在四面體中求兩條棱所在直線所成角的余弦值，著重考查了余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角等知識，屬于基礎(chǔ)題．