已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）且
a
與
b
滿足關系式：|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（其中k＞0）．
（1）用k表示
a
•
b
；
（2）證明：
a
與
b
不垂直；
（3）當
a
與
b
的夾角為60°時，求k的值．
分析：（1）由題意可得|
a
|=|
b
|=1，把已知條件平方可得結果；
（2）由（1）的結果結合基本不等式可證
a
•
b
≥
1
2
，故不垂直；
（3）由數(shù)量積的定義結合前面所求可建立關于k的方程，解之即可．
解答：解：（1）∵|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，|
a
|=|
b
|=1，
∴(k
a
+
b
)2=3(
a
-k
b
)2，化簡可得：
8k
a
•
b
=2k2+2，故
a
•
b
=
1
4k
(k2+1)（k＞0）；
（2）由（1）可得
a
•
b
=
1
4k
(k2+1)（k＞0），
由基本不等式可得
a
•
b
=
1
4k
(k2+1)=
1
4
（k+
1
k
）≥
1
2
，
當且僅當k=1時取等號，故
a
•
b
≠0，
故
a
與
b
不垂直；
（3）當
a
與
b
的夾角為60°時，
a
•
b
=|
a
||
b
|cos60°=
1
2
，
又
a
•
b
=
1
4k
(k2+1)（k＞0），
∴
1
4k
(k2+1)=
1
2
，解得k=1
點評：本題為向量的綜合應用，涉及向量的模長夾角和基本不等式，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時
k+t2
t
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案