Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-2）²+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）化簡后，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0列出不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的極值；
（2）分三種情況：x=

2

3

在區(qū)間[t，t+2]的左邊，右邊及中間，根據(jù)（1）中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出相應(yīng)的t范圍中函數(shù)的最大值，聯(lián)立即可得到f（x）最大值與t的分段函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）f（x）=x³-4x²+4x+1
∵f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

2

3

)和（2，+∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

2

3

，2)，
所以x=

2

3

為f（x）的極大值點(diǎn)，極大值為f(

2

3

)=

59

27

x=2為f（x）的極小值點(diǎn)，極小值為f（2）=1．（7分）
（2）①當(dāng)t+2＜

2

3

即t＜-

4

3

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上遞增，
∴f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1；
②當(dāng)t≤

2

3

≤t+2即-

4

3

≤t≤-2時(shí)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，

2

3

]上遞增，在區(qū)間[

2

3

，t+2]上遞減，
∴f(x)max=f(

2

3

)=

59

27

；
③當(dāng)t＞

2

3

時(shí)，f（x）_max=max{f（t），f（t+2）}，
令f（t）≥f（t+2），則t（t-2）²≥（t+2）t²，t（6t-4）≤0，得0≤t≤

2

3

，
所以當(dāng)t＞

2

3

，f（t）＜f（t+2），f（x）_max=f（t+2）=t³+2t²+1，
所以f(x)max=

t3+2t2+1，t＜- 4 3 或t＞ 2 3 59 27 - 4 3 ≤t≤ 2 3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是一道綜合題．