已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*).
(1)求證:當(dāng)n≥2時,{an+2an-1}和{an-3an-1}均為等比數(shù)列;
(2)求證:當(dāng)k為奇數(shù)時,;
(3)求證:(n∈N*).
【答案】分析:(1)整理an+1=an+6an-1得an+1-3an=-2(an-3an-1),an+1+2an=3(an+2an-1),進(jìn)而判斷出當(dāng)n≥2時,{an+2an-1}是首項為15公比為3的等比數(shù)列,{an-3an-1}是首項為-10,公比為-2的等比數(shù)列.
(2)利用(1)中求得的an+2an-1和an+1-3an,兩式相減求得an,進(jìn)而求得當(dāng)k為奇數(shù)時,=原式得證.
(3)利用(2)中的結(jié)論,進(jìn)而可知當(dāng)n為偶數(shù)時,求得,n為奇數(shù)時,,綜合原式可證.
解答:解:(1)由an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*)得:
an+1+2an=3(an+2an-1),an+1-3an=-2(an-3an-1
且a2+2a1=15,a2-3a1=-10.
∴當(dāng)n≥2時,{an+2an-1}是首項為15公比為3的等比數(shù)列,
{an-3an-1}是首項為-10,公比為-2的等比數(shù)列.
(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1,an+1-3an=-10×(-2)n-1
以上兩式相減得an=3n-(-2)n
當(dāng)k為奇數(shù)時,
=

(3)由(2)知,當(dāng)k為奇數(shù)時,;
∴當(dāng)n為偶數(shù)時,
當(dāng)n為奇數(shù)時,
點評:本題主要考查了等比關(guān)系的確定,不等式的證明.考查了學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力.
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已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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