如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,SC的中點(diǎn).
(1)證明EF∥平面SAD;
(2)設(shè)SD=2DC,求二面角A-EF-D的余弦值.
分析:法一:(1)作FG∥DC交SD于點(diǎn)G,則G為SD的中點(diǎn).要證EF∥平面SAD,只需證明EF平行平面SAD內(nèi)的直線AG即可.
(2)取AG中點(diǎn)H,連接DH,說明∠DMH為二面角A-EF-D的平面角,解三角形求二面角A-EF-D的大。
法二:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,證明
EF
=
AG
,可得EF∥AG,從而EF∥平面SAD.
(2)利用
MD
EA
的夾角等于二面角A-EF-D的平面角,根據(jù)向量的夾角公式,即可求得結(jié)論.
解答:解法一:
(1)作FG∥DC交SD于點(diǎn)G,則G為SD的中點(diǎn).
連接AG,則FG平行且等于CD,又CD平行且等于AB,
∴FG平行且等于AE,∴AEFG為平行四邊形.
∴EF∥AG,
∵AG?平面SAD,EF?平面SAD.
∴EF∥平面SAD.

(2)不妨設(shè)DC=2,則SD=4,DG=2,△ADG為等腰直角三角形.
取AG中點(diǎn)H,連接DH,則DH⊥AG.
又AB⊥平面SAD,所以AB⊥DH,而AB∩AG=A,所以DH⊥面AEF.
取EF中點(diǎn)M,連接MH,則HM⊥EF.
連接DM,則DM⊥EF.
故∠DMH為二面角A-EF-D的平面角
∴tan∠DMH=
DH
HM
=
2

∴cos∠DMH=
3
3

∴二面角A-EF-D的余弦值為
3
3

解法二:(1)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.
設(shè)A(a,0,0),S(0,0,b),則B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,
a
2
,0),F(xiàn)(0,
a
2
,
b
2
),
EF
=(-a,0,
b
2
)

取SD的中點(diǎn)G(0,0,
b
2
),則
AG
=(-a,0,
b
2
)

EF
=
AG

∴EF∥AG
∵AG?平面SAD,EF?平面SAD.
∴EF∥平面SAD.
(2)不妨設(shè)A(1,0,0),則B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E(1,
1
2
,0),F(xiàn)(0,
1
2
,1).
∴EF中點(diǎn)M(
1
2
,
1
2
1
2

MD
=(-
1
2
,-
1
2
,-
1
2
)
,
EF
=(-1,0,1)

MD
EF
=0
∴MD⊥EF
EA
=(0,-
1
2
,0),∴
EA
EF
=0
∴EA⊥EF,
MD
EA
的夾角等于二面角A-EF-D的平面角.
∵cos<
MD
,
EA
>=
MD
EA
|
MD
||
EA
|
=
3
3

∴二面角A-EF-D的余弦值為
3
3
點(diǎn)評:本題考查直線與平面平行的判定,二面角的求法,考查向量知識的運(yùn)用,考查計算能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS的中點(diǎn),CE=
2
,AS=
3
,求:
(Ⅰ)點(diǎn)A到平面BCS的距離;
(Ⅱ)二面角E-CD-A的大。

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(1)求證:EF∥平面SAD
(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小.

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠BAD=∠ABC=90°,SA=AB=AD=
1
3
BC=1
,E為SD的中點(diǎn).
(1)若F為底面BC邊上的一點(diǎn),且BF=
1
6
BC
,求證:EF∥平面SAB;
(2)底面BC邊上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角S-DG-A的正切值為
2
?若存在,求出G點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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如圖,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.底面ABCD為矩形,AD=
2
a,AB=
3
a
,SA=SD=a.
(Ⅰ)求證:CD⊥SA;
(Ⅱ)求二面角C-SA-D的大。

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