Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≥2；
（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用a+b≥2

ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．得到f'（x）≥2；
（Ⅱ）把不等式變形令g（x）=f（x）-ax并求出導(dǎo)函數(shù)令其=0得到駐點(diǎn)，在x≥0上求出a的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x+e^-x．
由于ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，故f'（x）≥2．
（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，則g'（x）=f'（x）-a=e^x+e^-x-a，
（ⅰ）若a≤2，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）=e^x+e^-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥0時(shí)，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根為x1=ln

a+ a2-4

2

，
此時(shí)，若x∈（0，x₁），則g'（x）＜0，故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)．
所以，x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾．
綜上，滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的能力．