Question

已知a＞0，函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，1]的極值；
（Ⅲ）若在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使f（x）＞g（x）成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)即切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求出切線的方程．
（II）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為求出兩個(gè)根，兩個(gè)的大小引起討論；判斷導(dǎo)函數(shù)在根左右兩邊的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用極值的定義求出函數(shù)的極值．
（III）構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大值大于0，求出a的范圍．
解答：解：∵f′（x）=a²x²-2ax
（I）當(dāng)a=1時(shí)，f′（1）=-1，f（1）=0
所以f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y=-x+1
（II）令f′（x）=0得
（1）當(dāng)，
x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增

所以當(dāng)x=0時(shí)，有極大值；當(dāng)有極小值
（2）當(dāng)，f（x）在（-1，0）上遞增，在（0，1）遞減
所以f（x）極大值為f（0）=，無(wú)極小值
（III）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=，
F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）
∵
∴F′（x）=a²x²+a（1-2x）＞0
∴
則
依題意，只需F（x）_max＞0
即
解得
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義|在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)的最值、考查不等式有解問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．