Question

已知點(diǎn)A、B在拋物線y=2x2上，O為原點(diǎn)，

OA

•

OB

=0，則直線AB恒過(guò)（　�。�

• A、（2，0）
• B、（0，2）
• C、(0，

  1

  8

  )
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：設(shè)出直線AB的方程為y=kx+b，再設(shè)出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，根據(jù)

OA

•

OB

=0，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到一個(gè)關(guān)于橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積和的關(guān)系式，把A和B的坐標(biāo)代入拋物線后，兩式相乘得到兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積，將之積代入化簡(jiǎn)得到的關(guān)系中求出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之積，然后聯(lián)立直線AB與拋物線解析式，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩橫坐標(biāo)之積，兩者相等列出關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，由直線AB恒過(guò)（0，b），把b的值代入即可確定出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
根據(jù)

OA

•

OB

=0，得到x₁x₂+y₁y₂=0，
將A和B代入拋物線方程得：y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，則y₁y₂=4（x₁x₂）²，
代入得：x₁x₂（4x₁x₂+1）=0，
由x₁x₂≠0，解得x₁x₂=-

1

4

，
聯(lián)立直線AB與拋物線方程得：

y=2x2 y=kx+b

，
消去y得：2x²-kx-b=0，
當(dāng)△=k²+8b≥0時(shí)，x₁x₂=-

b

2

，
所以-

b

2

=-

1

4

，解得b=

1

2

，
則直線AB的方程為y=kx+

1

2

，恒過(guò)（0，

1

2

）．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，直線與雙曲線的綜合，以及韋達(dá)定理．熟練掌握平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及韋達(dá)定理是解本題的關(guān)鍵．