Question

為倡導(dǎo)低碳生活，某節(jié)能產(chǎn)品生產(chǎn)廠家擬舉行消費(fèi)者購(gòu)買產(chǎn)品獲補(bǔ)貼的優(yōu)惠活動(dòng)，若廠家投放A、B兩種型號(hào)產(chǎn)品的價(jià)值分別為a、b萬(wàn)元，則消費(fèi)者購(gòu)買產(chǎn)品獲得相應(yīng)的補(bǔ)貼分別為

1

10

a，mlnb(b+1)萬(wàn)元（m＞0且為常數(shù)）．已知廠家把總價(jià)值為10萬(wàn)元的A、B兩種型號(hào)的產(chǎn)品投放到市場(chǎng)，且A、B兩種型號(hào)的投放金額都不低于1萬(wàn)元．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4=1.4）
（1）設(shè)投放B型產(chǎn)品的金額為x萬(wàn)元，請(qǐng)你將這次活動(dòng)中消費(fèi)者得到的總補(bǔ)貼表示為x的函數(shù)，并求其定義域；
（2）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，當(dāng)投放B型產(chǎn)品的金額為多少萬(wàn)元時(shí)，消費(fèi)者得到的總補(bǔ)貼最多，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)設(shè)投放B型產(chǎn)品的金額的x萬(wàn)元，則投放A型產(chǎn)品的金額為（10-x）萬(wàn)元，即可得到農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼的函數(shù)解析式，寫出定義域；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，然后判定極值點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)投放B型產(chǎn)品的金額的x萬(wàn)元時(shí)，投放A型產(chǎn)品的金額為（10-x）萬(wàn)元，消費(fèi)者得到的總補(bǔ)貼為f（x）
f（x）=

1

10

（10-x）+mln（x+1）=mln（x+1）-

x

10

+1，1≤x≤9
（2）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，消費(fèi)者得到的總補(bǔ)貼為y=

2

5

ln（x+1）-

x

10

+1，x∈[1，9]
y′=

2

5(x+1)

-

1

10

=

3-x

10(x+1)

，令y′=0得x=3
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，y′＞0，當(dāng)x∈（3，9]時(shí)，y′＜0
∴x=3時(shí)，y取最大值y_max=

2

5

ln4+

7

10

≈1.3
即廠家分別投放A、B兩種產(chǎn)品7萬(wàn)元與3萬(wàn)元時(shí)，消費(fèi)者得到的總補(bǔ)貼最多，最多補(bǔ)貼約為1.3萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．