Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：f（x）=2sin(2x-

π

6

)，所以函數(shù)f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π．利用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)．
（2）當(dāng)x∈(-

π

12

，

25π

36

)時(shí)，利用整體思想可得2x-

π

6

∈(-

π

3

，

11π

9

)，進(jìn)而得到f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域．

解答：解：（1）由題意可得：f(x)=sin2x+2

3

sin(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)-cos2x-

3

=2

3

sin2(x+

π

4

)-cos2x-

3

=

3

sin2x-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為：T=

2π

2

=π
因?yàn)榱?span id="tbimojf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
所以可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)．
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）當(dāng)x∈(-

π

12

，

25π

36

)時(shí)，所以2x-

π

6

∈(-

π

3

，

11π

9

)，
所以sin(2x-

π

6

)∈(-

3

2

，1]．
所以f（x）在(-

π

12

，

25π

36

)上的值域是(-

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和（差）的正余弦公式，以及掌握正弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，注意在解決此部分問題時(shí)常用的思想是整體思想．