Question

已知向量

a

=(

3

sinx，sinx)，

b

=(sinx，cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

3

2

（x∈R）．
（1）若x∈（0，

π

2

），求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，若A＜B，f（A）=f（B）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算與三角函數(shù)公式將f（x）轉(zhuǎn)化為f（x）=sin（2x-

π

3

），結(jié)合x∈（0，

π

2

），即可求f（x）的最大值；
（2）依題意可得sin（2x-

π

3

）=

1

2

，而-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

，從而可得x=

π

4

或x=

7π

12

，在△ABC中，A＜B，從而有A=

π

4

，B=

7π

12

，再利用正弦定理即可求

BC

AB

的值．

解答：解：（1）f（x）=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）．…（4分）
∵0＜x＜

π

2

，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．…（6分）
∴當2x-

π

3

=

π

2

時，即x=

5π

12

時，f（x）取最大值1．…（7分）
（2）∵f（x）=sin（2x-

π

3

），x是三角形的內(nèi)角，則0＜x＜π，-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

．
令f（x）=

1

2

，得sin（2x-

π

3

）=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

．解得x=

π

4

或x=

7π

12

．…（9分）
由已知，A，B是△ABC的內(nèi)角，A＜B且f（A）=f（B）=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

．
∴C=π-A-B=

π

6

．…（11分）
由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的運算，考查正弦定理的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題及運算能力，屬于中檔題．