Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）在DB上是否存在一點(diǎn)M，使ME∥平面ADF？若不存在，請說明理由；若存在，請找出這一點(diǎn)，并證明之．

Answer 1

證明：（I）∵AB為圓O的直徑，
∴BF⊥AF，
又∵平面ABCD⊥圓O面，且平面ABCD∩圓O面=AB，DA⊥AB，
∴DA⊥圓面O，BF?圓面O，
∴DA⊥BF，DA∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF；
（II）過點(diǎn)F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圓面O，F(xiàn)H?圓面O，
DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，
∵HF=

3

2

，BH=

3

2

，
∴∠FBA=30°，
∴BF與平面ABCD所成角是30°．
（III）取BD中點(diǎn)記作M，設(shè)DC的中點(diǎn)為N，連接EO，ON，EN，
則M點(diǎn)在ON上，
ON∥AD，OE∥AF，
AD∩AF=A
∴面NOE∥面ADF
∵M(jìn)點(diǎn)在平面NOE上，
∴ME∥平面ADF
此時點(diǎn)M在BD的中點(diǎn)．