Question

設

a

=（sinx，3cosx），

b

=（sinx+2cosx，cosx），

c

=（0，-1），
（1）記f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最小正周期；
（2）把f（x）的圖象沿x軸向右平移

π

8

個單位，再把所得圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="1nrh1tp" class="MathJye">

1

ω

倍（ω＞0）得到函數(shù)y=F（x）的圖象，若y=F（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，求ω的最大值；
（3）記g（x）=|

a

+

c

|2，當x∈[0，

π

3

]時，g（x）+m＞0恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：解：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積進行運算，再根據(jù)三角函數(shù)的運算化成一角一函數(shù)的形式．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換，求得F（x）；由y=F（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，得

π

4

≤

π

4ω

，ω≤1
（3）求出g（x），換元，看成一元二次函數(shù)，再根據(jù)一元二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

解答：解：f（x）=sinx（sinx+2cosx）+3cos²x=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin2x+2cos²x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+2      …3
（1）周期T=π    …4′
（2）F(x)=

2

sin2ωx+2，

π

4

≤

π

4ω

，ω≤1…10
（3）g（x）=sin²x+（3cosx-1）²=8cos²x-6cosx+2
設cosx=t，t∈[

1

2

，1]∴p（t）=8t²-6t+λ²+2
p（t）在[

1

2

，1]上為增函數(shù)∴p_min（t）=p（

1

2

）=1，m+1＞0，m＞-1…16

點評：本題考查了數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的圖象變換，以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，是綜合類的題目，應該熟練靈活掌握．