Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）設(shè)0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=x|x-2|=
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，1]和[2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴或，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集為{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3） 當(dāng)0＜a1 時(shí)，f（x）是[0，a]上的增函數(shù)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．當(dāng)1＜a≤2 時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，在[1，a]上是減函數(shù)，此時(shí)，
此時(shí)f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
綜上，當(dāng)0＜a1 時(shí)，此時(shí)f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
當(dāng)1＜a≤2 時(shí)，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1．
分析：（1）取絕對(duì)值，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，聯(lián)系圖象寫單調(diào)區(qū)間．
（1）分類討論，去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化解為不等式組．
（3）分類討論，分當(dāng)0＜a1 時(shí)，當(dāng)1＜a≤2 時(shí)兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，和利用單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．