Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為S_n，若s₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

an+6

(n+1)Sn

}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解：（Ⅰ）以題意，由前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式列出方程組

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

求出a₁=6，d=4，用公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）求出

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

利用裂項(xiàng)相消求出前n項(xiàng)和為T_n，證出不等式．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，有

S5=70 a7=a2•a22

即

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得a₁=6，d=4，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4n+2；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得Sn=2n2+4n，
∴

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)，∵

1

n+1

＞0
∴Tn=2(1-

1

n+1

)＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；考查數(shù)列求和的方法�？嫉那蠛偷姆椒ㄓ绣e(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法．