已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線數(shù)學(xué)公式（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上
∴
∵橢圓短半軸長(zhǎng)為1，∴，∴c=1
∴
所以橢圓方程為
（2）設(shè)以O(shè)M為直徑的圓的方程為，
其圓心為，半徑
因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=
所以=，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）2+（y-2）2=5
分析：（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上，可得，利用橢圓短半軸長(zhǎng)為1，即可確定橢圓方程；
（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，利用以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2，結(jié)合圓心到直線3x-4y-5=0的距離，即可求得所求圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查圓的方程，考查點(diǎn)到直線距離的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用圓的性質(zhì)求解圓的弦長(zhǎng)問題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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