Question

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E、F分別為AC、AD上的動點．
（1）若

AE

EC

=

AF

FD

，求證：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若

AE

EC

=1，

AF

FD

=2，求平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由已知中AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，由

AE

EC

=

AF

FD

，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EF∥CD，由線面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，可得平面BEF⊥平面ABC；
（2）方法一（向量法）建立空間直角坐標系C-xyz，根據(jù)BC=2，CD=

3

，AB=

3

，E、F分別為AC、AD上的動點，

AE

EC

=1，

AF

FD

=2，分別求出平面BEF與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�
方法二（幾何法）延長EF，交CD的延長線于G，連接BG，過E作EH⊥BC于H，可得EH⊥平面BCD，過H作HK⊥BG于K，連接EK，則∠EKH即為所求二面角的平面角，解Rt△BCD即可求出平面BEF與平面BCD所成的銳二面角的大�。�

解答：證明：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵

AE

EC

=

AF

FD

，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
解：（2）解法一（向量法）：
如圖建立空間直角坐標系C-xyz
則B(2，0，0)，D(0，

3

，0)，A(2，0，

3

)，
∵

AE

EC

=1，
∴E(1，0，

3

2

)，
∵

AF

FD

=2，
∴F(

2

3

，

2

3

3

，

3

3

)
∴

BE

=(-1，0，

3

2

)，

BF

=(-

4

3

，

2 3

3

，

3

3

)，
設

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面BEF，
則

-x+ 3 2 z=0 - 4 3 x+ 2 3 3 y+ 3 3 z=0

，
設

n1

⊥平面BCD，則

n1

可取（0，0，1），
∴cos＜

n

，

n1

＞=

2

2

，
所以，平面BEF與平面BCD所成的銳二面角為45°．
方法二（幾何法）：
延長EF，交CD的延長線于G，連接BG，
過E作EH⊥BC于H，則EH⊥平面BCD，
過H作HK⊥BG于K，連接EK，則EK⊥BG，
∴∠EKH即為所求二面角的平面角．
∵

AE

EC

=1，
∴AE=

1

2

AB=

3

2

，
在Rt△BCD中，可以解得HK=

3

2

，
∴在Rt△BCD中，∠EKH=45°，即平面BEF與平面BCD所成的銳二面角為45°．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是將條件

AE

EC

=

AF

FD

，根據(jù)平行線分線段成比例定理，轉(zhuǎn)化為EF∥CD，（2）中方法一的關(guān)鍵是將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，方法二的關(guān)鍵是確定∠EKH即為所求二面角的平面角．