Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx（b∈R），，
（Ⅰ） 當(dāng)a=b=1時(shí)，求H（x）；
（Ⅱ） 當(dāng)a=1時(shí)，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范圍；
（Ⅲ） 當(dāng)a＞0時(shí)，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一個(gè)實(shí)根，求證：b、c中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=x²+x，
由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵=
g[f（x）]=g（x²+x）=
∴
（II）當(dāng)a=1時(shí)，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立
即在[2，+∞）恒成立
∴在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）=，則容易得函數(shù)h（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，則h（x）_max=h（2）=
∴
（III）假設(shè)b≥0，c≥0，a＞0
由于在（0，]單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
∴＞0
∵c++c在[2，+∞）單調(diào)遞增
∴c++c=在（0，+∞）恒成立與f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假設(shè)錯(cuò)誤即b，c至少有一個(gè)為非負(fù)數(shù)
分析：（I）當(dāng)a=b=1時(shí)，f（x）=x²+x，由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1，代入可求
（II）當(dāng)a=1時(shí)，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）≥g（x）恒成立，即在x∈[2，+∞）恒成立，令h（x）=，則容易得函數(shù)h（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，則b≥h（x）_max可求
（III）利用反證法進(jìn)行證明
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，分段函數(shù)的應(yīng)用，及理由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，還要注意函數(shù)的恒成立問(wèn)題與最值之間的相互轉(zhuǎn)化