已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求直線(xiàn)y=x-
1
2
被橢圓截得的弦長(zhǎng)|AB|．
分析：（I）由題意得
2a=4
1
a2
+
3
4b2
=1
，解得a，b即可；
（II）聯(lián)立
y=x-
1
2
x2
4
+y2=1
，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．
解答：解：（I）由題意得
2a=4
1
a2
+
3
4b2
=1
，解得
a=2
b2=1
，∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
聯(lián)立
y=x-
1
2
x2
4
+y2=1
，化為5x2-4x-3=0．
∴x1+x2=
4
5
，x1x2=-
3
5
．
∴|AB|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2[(
4
5
)2-4×(-
3
5
)]
=
2
38
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿(mǎn)足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線(xiàn)l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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