已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之
(Ⅱ)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立,讓兩端點(diǎn)大等于零
解答:解:(Ⅰ)f'(x)==,
∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.①
設(shè)φ(x)=x2-ax-2,
方法一:φ
①??-1≤a≤1,
∵對x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.方法二:
①?
?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1.
∵對x∈[-1,1],f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f'(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí),f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由,得x2-ax-2=0,∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實(shí)根,x1+x2=a,x1x2=-2,
從而|x1-x2|==
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立.②
設(shè)g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
②?g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0,
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;
當(dāng)m≠0時(shí),
②?m>0,g(-1)=m2-m-2≥0或m<0,g(1)=m2+m-2≥0
?m≥2或m≤-2.
所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識,考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知f (x)=sin (x+
π
2
),g (x)=cos (x-
π
2
),則下列命題中正確的是( 。
A、函數(shù)y=f(x)•g(x)的最小正周期為2π
B、函數(shù)y=f(x)•g(x)是偶函數(shù)
C、函數(shù)y=f(x)+g(x)的最小值為-1
D、函數(shù)y=f(x)+g(x)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是[-
4
,
4
]

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已知f(x)=
1,x<0
2,x≥0
,g(x)=
3f(x-1)-f(x-2)
2

(1)當(dāng)1≤x<2時(shí),求g(x);
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求g(x)的解析式,并畫出其圖象;
(3)求方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f (x)=2sin(x+
θ
2
)cos(x+
θ
2
)+2
3
cos2(x+
θ
2
)-
3

(1)化簡f (x)的解析式;
(2)若0≤θ≤π,求θ使函數(shù)f (x)為偶函數(shù);
(3)在(2)成立的條件下,求滿足f (x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

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已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
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已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若,設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù),問是否存在實(shí)數(shù)a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214609557716869/SYS201310232146095577168019_ST/2.png">,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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