已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

思路點撥：本題根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的值的符號間的關系，確定其單調(diào)區(qū)間；再利用其導函數(shù)求出其極值，進而求得最值.

解：(1)f′(x)=-3x2+6x+9，

    令f′(x)＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)、(3,+∞).

(2)因為f(-2)=2+a，f(2)=22+a，所以f(2)＞f(-2).又因為在（－1，3）上f′(x)＞0，所以f(x)在［-1,2］上單調(diào)遞增.又由于f(x)在［-2,-1］上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2.

    故f(x)=-x3+3x2+9x-2，因此f(-1)=-7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為－7.

[一通百通]有關求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，除了利用增減函數(shù)的定義之外，還可以考慮利用相關函數(shù)的導數(shù)來判斷；對于求函數(shù)的最值問題，除了以往的方法外還可以考慮利用導數(shù)來求得結果.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3x+5，(x≤0)
x+5，(0＜x≤1)
-2x+8，(x＞1)
，
求（1）f(
1
π
)，f[f(-1)]的值；
（2）若f（a）＞2，則a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x＞7.
是定義域上的遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A、(
1
3
，1)
B、（
1
3
，
1
2
]
C、（
1
3
，
6
11
]
D、[
6
11
，1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù)．則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)，其中實數(shù)a≠1．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性．

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