Question

已知：函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，，且對?x、y∈（-1，1）有．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）對于數(shù)列{x_n}，有，試證明數(shù)列{f（x_n）}成等比數(shù)列；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)題意在中，令y=-x，計(jì)算可得f（-x）=f（x），從而可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（II）欲證數(shù)列{f（x_n）}成等比數(shù)列，只須證得，利用題中條件：從而可證明數(shù)列{f{x_n}}為等比數(shù)列．
（2）利用（Ⅱ）可得，求得，從而利用等比數(shù)列的求和公式得 ，進(jìn)而得解．
解答：解：（Ⅰ）在中，令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）
再令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（Ⅱ）證明：由得
∵∴
∴
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴f（x_n+1）=f（x_n）-f（x_n+1），2f（x_n+1）=f（x_n）
∵x_n≠0否則與矛盾，∴f（x_n）≠f（0）=0
〔或=2f（x_n+1）〕
∴，
∵，∴{f（x_n）}是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
（Ⅲ）證明：又（Ⅱ）可得
∵=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）=
又∵n∈N^*∴∴
點(diǎn)評：本小題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于難題．