Question

14．設(shè)函數(shù)g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：h（x）-8g（x）-h（1）=0；
（2）令$p（x）=\frac{g（x）}{{g（x）+\sqrt{3}}}$，求$p（\frac{1}{2014}）+p（\frac{2}{2014}）+…+p（\frac{2012}{2014}）+p（\frac{2013}{2014}）$的值；
（3）若$f（x）=\frac{g（x+1）+a}{g（x）+b}$是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系，解指數(shù)方程即可．
（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系，得到p（x）+p（1-x）=1是個常數(shù)，進行計算即可．
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)f（x）的不等式，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）h（x）-8g（x）-h（1）=0即：9^x-8•3^x-9=0，解得3^x=9，x=2
（2）$p（\frac{1007}{2014}）=p（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}$．
因為$p（x）+p（1-x）=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}+\frac{{{3^{1-x}}}}{{{3^{1-x}}+\sqrt{3}}}=\frac{3^x}{{{3^x}+\sqrt{3}}}+\frac{{\sqrt{3}}}{{{3^x}+\sqrt{3}}}=1$，
所以，$p（\frac{1}{2014}）+p（\frac{2}{2014}）+…+p（\frac{2013}{2014}）=1006+\frac{1}{2}=\frac{2013}{2}$，
（3）因為$f（x）=\frac{ϕ（x+1）+a}{ϕ（x）+b}$是實數(shù)集上的奇函數(shù)，
所以a=-3，b=1.$f（x）=3（1-\frac{2}{{{3^x}+1}}）$，f（x）在實數(shù)集上單調(diào)遞增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），
又因為f（x）是實數(shù)集上的奇函數(shù)，所以，f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），
又因為f（x）在實數(shù)集上單調(diào)遞增，所以h（x）-1＞k•g（x）-2
即3^2x-1＞k•3^x-2對任意的x∈R都成立，
即$k＜{3^x}+\frac{1}{3^x}$對任意的x∈R都成立，k＜2．

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，指數(shù)方程的求解，以及不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進行轉(zhuǎn)換是解決本題的關(guān)鍵．