Question

【題目】在四邊形ABCD中（如圖①），AB∥CD，AB⊥BC，G為AD上一點(diǎn)，且AB=AG=1，GD=CD=2，M為GC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)，且滿足BP=2PC．現(xiàn)沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG（如圖②）．
（1）求證：平面BGD⊥平面GCD：
（2）求直線PM與平面BGD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在直角梯形ABCD中，AB=AG=1，GD=CD=2，BC=2 ，cosD= ，

∴GC= = ，BG= ，

∴BG2+GC2=BC2，∴BG⊥GC，

∵平面GCD⊥平面ABCG，平面GCD∩平面ABCG=GC，

∴BG⊥平面GCD，

∵BG平面GCD，

∴平面BGD⊥平面GCD

（2）解：取BP的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．

由（1），作CN⊥GD，則CN⊥平面BGD，

∵HQ⊥平面BGD，

∴HQ∥GN，

∴ = = ，

∴HQ= CN．

△DGC中，GC= ，DM= ，

由GDCN=GCDM，得CN= ，

∴HQ= ，

∵直角梯形ABCD中，GH= ，∴sin∠HGQ= = ，

∴直線PM與平面BGD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）利用勾股定理，證明BG⊥GC，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，證明BG⊥平面GCD，即可證明平面BGD⊥平面GCD：（2）取BP的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥MP，作HQ⊥平面BGD，連接GQ，則∠HGQ為直線GH與平面BGD所成的角，即直線PM與平面BGD所成角．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．