Question

在平面直角坐標(biāo)系上，設(shè)不等式組（n∈N^*）表示的平面區(qū)域?yàn)镈_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n+1=2b_n+a_n，b₁=-13．求證：數(shù)列{b_n+6n+9}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{b_n} 的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，
所以平面區(qū)域?yàn)镈_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，
∴直線y=-2n（x-3）與直線x=1和x=2交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y₁=4n和y₂=2n…（6分）
∴D_n內(nèi)在直線x=1和x=2上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4n+1和2n+1，
∴a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3 …（7分）
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得
b_n+1=2b_n+6n+3 …（8分）
∴b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）…（9分）
∵b₁+6+9=2 …（10分）
∴{b_n+6n+9}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列…（11分）
∴b_n+6n+9=2ⁿ …（12分）
∴b_n=2ⁿ-6n-9．…（13分）
分析：（1）由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面區(qū)域?yàn)镈_n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)（3，0）與在直線x=1和x=2上，從而可得結(jié)論；
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得 b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）從而有 {b_n+6n+9}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列由此可數(shù)列{b_n+6n+9}的通項(xiàng)，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．